Vjerovatnoća nizova u ruletu
Dugi nizovi jedne boje česti su. Za sljedeći okretaj ipak ne znače ništa.
Pet crvenih zaredom: 2,7%. Deset: 0,074%. U sesiji od 200 okretaja niz od šest iste boje pojavljuje se češće nego ne.
Koliko često dolazi gubitnički niz
Opklada na jednostavnu šansu na točku s jednom nulom gubi u 19 od 37 okretaja. Svaki red prikazuje vjerovatnoću da svi okretaji u zadanom nizu izgube i koliko je dotad izgubio igrač sistema Martingale, koji nakon svakog gubitka udvostručuje ulog.
| uzastopni gubici | vjerovatnoća | otprilike 1 od | dosad izgubljeno | sljedeći ulog |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Vjerovatnoća je 19/37 pomnoženo samo sa sobom jednom za svaki gubitak, računajući od jednog zadanog okretaja. Duga sesija ima mnogo okretaja na kojima takav niz može započeti, pa je tokom jedne večeri on mnogo vjerovatniji nego što sugeriše jedan red.
Jedan niz
VjerovatnoćamatematikaVjerovatnoćaŠansa da se desi neki ishod, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da je sljedećih k okretaja sve crvenoopkladaCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → iznosi (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Pet: 2,7%. Deset: 0,074%, otprilike 1 od 1.350. Dvadeset: 1 od 1,8 miliona. Dvadeset šest, rekord iz Monte Karla: 1 od 137 miliona. To su vjerovatnoće određenog niza koji počinje u određenom okretaju, a to gotovo niko zapravo ne pita.
U sesiji
Pitanje koje ljudi misle jest: „Hoće li se niz od k negdje pojaviti u mojoj sesiji?“, a odgovor je mnogo veći od (18/37)ᵏ jer sesija od 200 okretaja nudi gotovo 200 mjesta na kojima niz može početi. Niz od šest ili više iste boje, crvene ili crneopkladaCrnoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo →, pojavljuje se u sesiji od 200 okretaja oko 94% vremena; niz od osam ili više oko 47%; od deset ili više oko 14%. Ako boju imenujete unaprijed, vjerovatnoće padaju na oko 75%, 27% i 7%. Igrač koji sjedi jednu večer svake večeri vidi duge nizove.
Zašto je Martingale važan
Svaka negativna progresijastrategijaProgresijaSvako pravilo koje mijenja ulog prema prethodnim rezultatima. Negativne progresije ga povećavaju nakon gubitaka, pozitivne nakon dobitaka.Pročitajte cijelo → ima dužinu niza koja je prekida: šest gubitaka s osnovom od $10 pri limitu od $500, deset za FibonaccistrategijaFibonacciProgresija po nizu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: jedan korak naprijed nakon gubitka, dva koraka nazad nakon dobitka.Pročitajte cijelo →, pet za utrostručavanje na tuceteopkladaTucet1–12, 13–24 ili 25–36; isplaćuje 2:1.Pročitajte cijelo →. Vjerovatnoća niza od šest gubitaka pri jednostavnoj šansi je (19/37)⁶ ≈ 1,8% po pokušaju, a sesija od 200 okretaja sadrži možda 100 pokušaja, pa prekid dolazi u otprilike četiri od pet sesija te dužine. Vjerovatnoća nizova u ruletu razlog je što provalija nije rijetka.
Vrući i hladni brojevi
Ista aritmetika vrijedi za opklade na jedan brojopkladaJedan brojJedan broj; isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo →. U 300 okretaja očekivani broj pogodaka po broju je 8,1; standardna devijacijamatematikaStandardna devijacijaKvadratni korijen varijanse; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrijednosti.Pročitajte cijelo → je oko 2,8. Neki broj će samo slučajno imati 15 pogodaka, a neki 2, svaki put. Tabla rezultata koja ističe „vruće“ brojeve ističe vrh normalne raspodjele. Laboratorija objašnjava koliko okretaja treba prije nego što vruć brojmitVruć brojBroj koji se nedavno pojavljivao češće od očekivanog. Na poštenom točku ne predviđa ništa.Pročitajte cijelo → išta znači (hiljade, s jednog utvrđenog točka).
Nezavisnost je suština
Niz od deset crvenih ne čini crno vjerovatnijim, niti čini crveno vjerovatnijim. Oba su 18/37. Nizovi su svojstvo slučajnih sekvenci i njihovo odsustvo bilo bi sumnjivo: niz od 200 okretaja bez niza dužeg od četiri bio bi mnogo jači dokaz namještanja od niza s dvanaest.
Formula
Pitanja
Čuven je niz od 26 crnih u Monte Karlu 18. avgusta 1913. U američkom kazinu 1943. prijavljen je niz od 32 crvene zaredom. Oboje je u skladu sa slučajem s obzirom na to koliko okretaja kazina odigraju.
U oba slučaja je 18/37. Kladite se prema planu ili nemojte uopšte.
Ne. Pristrasnost se pokazuje tako što neki džepoviopremaDžepJedan od 37 numerisanih džepova na rotoru. Takođe: slot, cup.Pročitajte cijelo → pogađaju češće tokom hiljada okretaja, a ne nizovima jedne boje.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Koliko je okretaja evropskog točka potrebno u prosjeku prije nego što se svaki od 37 brojeva pojavi barem jednom?
Prikaži rješenje
Odgovor U prosjeku približno 155 okretaja; medijan je 147.
Brojite čekanje na svaki novi broj. Prvi okretaj uvijek daje novi broj. Kada ste vidjeli 1 broj, 36 džepovaopremaDžepJedan od 37 numerisanih džepova na rotoru. Takođe: slot, cup.Pročitajte cijelo → od 37 su nova, pa sljedeći novi broj u prosjeku zahtijeva 37/36 okretaja. Kada ste vidjeli k brojeva, potrebno je 37/(37 − k).
Sabiranjem čekanja dobija se: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 okretaja.
Najveći dio dolazi na kraju. Samo zadnji broj u prosjeku zahtijeva 37 okretaja, a zadnjih pet približno 85. Na američkom točku isti zbir daje približno 161. To je problem sakupljača kupona; isti prosjek slijedi iz standardnog računa.
Koliko različitih brojeva treba očekivati u 37 okretaja evropskog točka, po jedan okretaj za svaki džep?
Prikaži rješenje
Odgovor Približno 23,6. Otprilike trećina brojeva, njih 13, uopšte ne dođe.
Uzmite jedan broj, recimo 17. U svakom okretaju vjerovatnoća da ne dođe iznosi 36/37, pa svih 37 okretaja propušta s vjerovatnoćom (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Svaki broj ima istu vjerovatnoću, pa u prosjeku nedostaje 37 × 0,363 ≈ 13,4 broja, a dolazi 37 − 13,4 ≈ 23,6 brojeva, mnogi od njih dva ili više puta.
Igrači ruleta to zovu pravilom trećina. To nije nikakav zakon, već samo aritmetika ponavljanja: u nizu dugom kao točak približno trećina brojeva izostane, na poštenom točku kao i na bilo kojem drugom. Na 38 džepova udio je takođe (37/38)³⁸ ≈ 0,363; za veliki točak približava se 1/e ≈ 0,368.
Prijatelj vam pokaže dvije liste od po 50 boja, crvenoopkladaCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → ili crnoopkladaCrnoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo →, za koje tvrdi da potiču s točka bez nulatočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo →. Jedna promijeni boju 25 puta, a najduži joj je niz šest. Druga promijeni boju 35 puta i nikad nema niz duži od tri. Koja je izmišljena?
Prikaži rješenje
Odgovor Druga. Stvarna lista promijeni boju približno 24 ili 25 puta. Lista s 35 promjena pojavljuje se otprilike jednom na 500, a lista bez niza dužeg od tri približno dva puta na 100.
Svaka nova boja ili ponovi prethodnu ili je promijeni, podjednako vjerovatno, pa 49 prilika za promjenu u prosjeku daje 24,5 promjena, uz odstupanje od oko 3,5. Trideset pet je tri takva odstupanja iznad prosjeka; pošten točak proizvede toliko promjena približno jednom na 500 lista.
Nizovi govore isto. Stvarna lista od 50 elemenata ima niz od četiri ili više njih približno 98% vremena, a najduži niz najčešće traje pet ili šest.
Ljudi od kojih se traži da izmisle slučajnu listu prečesto mijenjaju boju, jer im niz od četiri ili pet izgleda kao obrazac. Taylor (2021) pokazuje isti znak u listama bacanja novčića koje su smislili studenti: stvarna slučajnost sadrži više nizova nego što ljudi očekuju.
Knjiga kazino priča govori o igraču kojem je isti broj došao pet puta zaredom i naziva to rekordom. Koliko je to rijetko na evropskom točku? I koliko često bi se trebalo dogoditi negdje u jednom kazinu s 20 stolova, od kojih svaki vrti 40 puta na sat, danju i noću?
Prikaži rješenje
Odgovor Određeni broj pet puta zaredom: 1 prema 69 miliona. Bilo koji broj koji se pojavi još četiri puta nakon prvog: 1 prema 1,87 miliona. Taj kazino napravi oko 7 miliona okretaja godišnje, pa bi niz od pet trebao vidjeti tri ili četiri puta godišnje.
Određeni broj dolazi s vjerovatnoćom 1/37 po okretaju, pa pet zaredom ima vjerovatnoću (1/37)⁵ = 1 prema 69.343.957. Ali niko broj ne odredi unaprijed. Šta god prvo dođe, naredna četiri okretaja moraju ga ponoviti: (1/37)⁴ = 1 prema 1.874.161.
20 stolova × 40 okretaja × 24 sata × 365 dana = 7.008.000 okretaja godišnje. Svaki okretaj može početi niz, pa kazino očekuje 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 nizova od pet godišnje.
Ne postoji zvanični rekord te vrste, niti je potreban: rijedak događaj za jednim stolom rutinski je negdje u kazinu, a priče se pričaju o stolu gdje se dogodio. Priča kod Goldmana (2007) smještena je na točak s duplom nulom, gdje su brojke 1 prema 79 miliona i 1 prema 2,09 miliona.
Malo humora
Dugi nizovi su ono kako slučajnost izgleda.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.